第85篇 混沌论（2）— 洛伦兹：蝴蝶效应与混沌学

杨鸿智

第85篇  混沌论（2）— 洛伦兹：蝴蝶效应与混沌学
作者：
中国医药信息学会北京分会后现代理论医学专业委员会主任委员杨鸿智

美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。
1963年的一天，气象学家洛伦兹踱进麻省理工学院的咖啡馆。而在他进来之前，他刚把一个数据输入他那台现在看来工作速度其慢无比的计算机，以验证上一次的结果。他知道结果还需要等一个来小时，他大可一边躲开噪音，一边来悠闲地享受点咖啡。当他回到自己的工作室时，令他惊讶的事发生了：这次的结果与上次的结果在开始时相同，但到后来却出现了很大的差异。他的结果是通过曲线表示的，这就是说两条曲线只是在开始时相吻合，而到后来两者却分道扬镳了。
问题出在计算机上吗？要知道，那时的计算机是经常出错的。但洛伦兹通过再次验证排除了这种可能。那么原因何在？不久他就找到了缘由。在初次计算中，他输入的值是0.506127，而在后来的计算中，他输入的值是0.506。两者相差甚微，用后来替换前者按常理说应无不可。然而，问题就出在这里。由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。
由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等），也难以获得准确的长期天气预报。
洛伦兹用一种形象的比喻来表达他的这个发现：一只小小的蝴蝶在巴西上空煽动翅膀，可能在一个月后的美国得克萨斯州会引起一场风暴。这就是混沌学中著名的“蝴蝶效应”，也是最早发现的混沌现象之一。
什么是混沌呢？它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律，混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
美国麻省理工学院的天文学家和计算机专家指出，太阳系是不可预测的，在任一时刻，我们根本无法推算出有关行星的速度及准确位置，根据经典力学计算出的结果是不可信的。这与洛伦兹关于准确的长期天气预报是不可能的结论一致。其他像太阳黑子的增减、传染病的发病规律、精神病的发病机理、脑电波和心率的变异、湍流、股票行情的变化、汇率的波动，以及许多化学反应和化学过程、都存在着混沌现象。天体物理学家试图用混沌学探索宇宙起源，医学家也欲用混沌学研究心脏运动的规律，经济学家试图用混地学来预测股市行情，社会学家则试验用它去认识和评价政治危机。一些未知的复杂过程和现象，都能从混沌学那里找到答案吗？这正是混沌学具有诱人魅力之处。
目前，科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够完美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
　　混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了一个新的窗口。所以，许多科学家认为，20世纪物理学永放光芒的三件事是：相对论、量子论和混沌学的创立。
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自从牛顿三大定律及万有引力定律问世以来，确定论的思想就在人们心中根深蒂固，这种观点是伟大的法国数学家和自然哲学家拉普拉斯强烈主张的。他认为如果我们能够知道宇宙中所有质点的位置和速度以及它们之中所有的力的性质，则我们就可以给出宇宙在所有时间中的行程。简单地讲，从初始状态的精确知识可以导出最终状态的精确知识。在牛顿力学中，这种信念是正确的，并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真实世界里，初始状态的精确知识是得不到的，一个量不管测量得多么精确，我们总能要求测量得更精确些。尽管一般说来，我们可能认识到，我们没有能力知道这种精确知识，但通常我们假定，如果两个分别进行的实验的初始条件几乎相同，则最后结果亦将几乎相同。对于大多数具有光滑特性的"常规"系统，这种假设是正确的，但对于某些非线性系统，它是错误的，并且结果是确定性的混沌。早在上世纪末，伟大的法国数学家庞加莱就已经深刻地了解了这种可能性以及定量的结果。在他的《科学与方法》一书中写道："初始条件中的微小差别会在最后现象中产生非常大差别的情况也可能发生，前者的微小误差将在后者中产生巨大的误差。预言变为不可能，而我们就有了偶然现象。"尽管庞加莱有惊人的洞察力，但直到本世纪６０年代初期，确定性混沌实际上仍然没有被仔细考察过。交互式计算机的诞生终于为细致研究混沌提供了有力的工具。１９６３年，气象学家洛仑兹根据牛顿定律建立了温度压强、压强和风速之间的非线性方程 （下划直线的是非线性项，x代表对流的强度，y表示所考虑的气体薄层中气体向上流或向下流的温度差，z表示温度分布的非线性）他将该方程组在计算机上进行模拟实验，因嫌那些参数小数点后面的位数太多，输入时很繁琐，便舍去了几位，尽管舍去部分看来微不足道，可是结果却大大出乎意料：该气象模型竟与没有舍去几位小数所得的气象模型大相径庭，变得完全不同。因此，洛仑兹断言："长时期"天气预报是不可能的。在澳大利亚的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北美佛罗里达洲的一场龙卷风。这就是天气系统的"蝴蝶效应"。洛仑兹的论文发表在大气科学杂志上，当时并没有引起注意。而真正最早给出混沌的第一个严格数学定义的人是李天岩。他和约克教授受到洛仑兹论文的启发在１９７５年１２月份那期《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为"周期３意味着混沌"，在这篇文章中，他们正式提出混沌（chaos）一词，并给出它的定义和一些有趣的性质。此后由于著名生态学家梅( May)的大力宣传，chaos一词不胫而走，渐渐被广大学者所认知。紧接着在１９７８年，费根鲍姆（Feigenbaum）利用梅的模型发现了倍周期分叉进入混沌的道路，并获得了一些普适性常数，这更引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特（Mandelbrot）用分形（fractal）一词来描述自然界中传统的欧几里德几何所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象，使混沌现象中的奇怪吸引子有了对应的数学模型。８０年代后，混沌理论的研究一下子成为了热点，不仅是数学家、物理学家，而且生物学家、化学家、医学家、经济学家都不约而同地寻找不同形式的无规则性之间的联系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因为它提供了把复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然的行为。混沌是一种关于过程的科学，而不是关于状态的科学；是关于演化的科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力。
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