转帖： 《文盲正侃时间史第一部【物理正传】》

柳之心

　　微积分学是一门研究变化的科学，针对函数、速度、加速度、曲线的斜率、各种面积、体积等这些不算只看都头疼的劳什子，提供了一套通用的计算方法。直观点说，变幻莫测、捉摸不定的东西，就用微积分来测、来捉摸。比如卫星轨道、炮弹轨迹、经济形势、气象变化等，相当的好用。当然，它也不是万能的，你要是想用它来计算咱国油价的涨落，以及女朋友的心思，那还是死了这条心吧。

　　为了掌握瞬息万变的世界，人类对计算变化的事物有着与生俱来的渴望，终于有一天，阿基米德创立的“穷竭法”为微积分的诞生埋下了伏笔。

　　这个伏笔一埋就是1800多年。由于入梦太久，睡得太死，所以唤醒她的，不是王子的吻，而是炮弹。

大光明云

柳老师辛苦， 我在看您的转贴，非常感兴趣，并下载到我的空间，多谢。

柳之心

大光明云 发表于 2016-3-21 05:16
柳老师辛苦， 我在看您的转贴，非常感兴趣，并下载到我的空间，多谢。

谢谢，但是，不要谢我，要谢作者！

柳之心

　　16—17世纪，各国为了实现军事现代化，纷纷配置了大规模杀伤性武器——火炮，你有我有全都有，两军交战，开炮不是问题，问题是打不准！于是大家为提高炮弹的命中率，伤透了脑筋，没人会算炮弹的飞行轨迹。它不仅是运动的，还是不断变化的，他个仙人板板！这怎么算？！数学家面对大炮轨迹溃不成军。

　　还好有伽利略在，那时他还没被教会关起来。伽利略说，假如没有重力，大炮朝斜上方发射的炮弹，必定沿着发射方向直线前进，冲出地球，走向宇宙。但是在地球上，大家都是有重力的，所以，炮弹出膛后，除了惯性力让它继续向前跑以外，还有重力不断把它往下拉，在两种力的团结协作下，假如不考虑空气阻力，炮弹应该是向前飞的速度不变，向下落的速度却随时间而增加（加速度，很重要哦），于是，炮弹将划出一道优美的彩虹状曲线——抛物线。如果考虑空气阻力，炮弹前进的速度将会逐渐下降，导致它划出的那道弧不完美，不是真正的抛物线。掌握了每种炮弹不同发射角的抛物线，就可以通过调整大炮的发射角度来控制炮弹的落点。问题得到基本解决。为什么要说“基本”呢？因为不够完美：炮弹轨迹不能用数字表达，不方便计算。

　　1637年，病床上的笛卡尔带病坚持琢磨：如何把抽象的代数问题几何化。正想着，蓦然回眸间，他突然看见一只蜘蛛，在墙角的三条线间瞎忙活。天才就是天才——他脑子里想的、眼里看的，完美地结合到一起，把墙角线标上刻度，可以准确锁定蜘蛛的点位置，这个点移动的轨迹，就是线……笛卡尔坐标系诞生了！解析几何奠基了！有了它，图和数可以相互转换，从此，现实现象变成了数学问题，炮弹的抛物线可以用坐标系——也就是数学公式来表达了！

　　大家正准备雀跃一下以示庆祝，却在起跳时发现一个问题：因为炮弹的轨迹是一个弧，没有直线，所以每一个时间点，炮弹走的方向都有所变化。虽然这种变化是连续的、有规律的，但是，公式没体现出这种变化。于是，炮弹在某个时间点的方向，干瞪眼算不出来！

　　随后，聪明的数学家意识到，炮弹沿着弧线前进，它在某点前进的方向线，就是这个点在弧上引的切线。就这么简单吗？当然不简单。我们知道，在圆弧的某点划切线，只需划一条圆心到该点的连线的垂线，就OK。抛物线是弧，但不是圆弧，想准确找到这个点的切线，不太容易。仔细一想，太不容易！

　　那就让炮弹先飞一会，我们先请领导上场。

柳之心

　　皮埃尔•德•费马，法国律师、政府官员、贵族。头衔不少，但让他名垂千古的却是一个绰号：业余数学家之王。这并非浪得虚名，实在是他在数学方面的贡献，使一些职业数学家都望尘莫及。他独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理，不同的是，笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这是解析几何基本原则的两个相对的方面。他当然也遇到了这个问题：怎样确定抛物线某点的切线？

　　数学家不是弹道学家，他们不是搞定抛物线上的切线问题就可以请功去了，而是要搞定所有曲线上的切线问题才算功德圆满。在曲线上划一个正确的切线，关键在于这个切线的倾斜度——也就是斜率正确。笛卡尔、费马等数学家找到了几种计算斜率的方法，但每种方法都是针对特定曲线的，对其他曲线无能为力。就像制定若干套法律，每套只管特定的人群，而对其他人无效一样。尘世间最令人抓狂的事莫过于此。关键时刻，费马出马了，他找到一种相对来说普遍性最好的方法，大致就是在线上取另一点，无限逼近切点，求出两者连线的斜率，算是解了围。他还建立了求极大值、极小值以及定积分的方法，为催生微积分做出了重要贡献。

　　这些方法虽然能够解决一些实际问题，但是，作为数学，它缺乏普遍性、简洁性、精确性，不完美，甚至不完整。

　　1664年，剑桥大学的尖子生牛顿同学也开始研究“切线难题”，他提出一个简洁的思想：把“线”看成“点”随时间移动的轨迹。

　　咱俩一看，这简单得跟废话一样。于是，一齐狐疑地看着牛顿：那又怎么样？

　　这样，每个点都会有个瞬间行进的方向。这个方向就是斜率，方向线就是我们要找的那个切线。牛顿说。

　　咱俩的下巴掉了下来。面对强人，我们可以颂扬。面对强人中的强人，我们只有无语。

柳之心

　　牛顿先读出切点的坐标值，然后假设切点在无限接近0的时间里，沿线走了一段无限接近0的距离。这样，就得到了数学家们梦寐以求的东西：

　　首先，曲线上无限接近0的一段线，可视为直线，这样，相当于直接把切线划出来了。

　　其次，无限接近0的值可忽略不计，但它有着实在的数学意义，把它与切点的坐标值结合起来运算，就能得到实实在在的值。

　　这真是个聪明透顶的办法。记得三十六计的第十四计吧——借尸还魂。

　　剩下的事，就是把这些值代入曲线表达式、斜率公式算一下，那个倒霉的斜率便赤裸裸地出现在我们面前（计算过程就不写了。懂的不用看，不懂的看着晕，我们只要与伟人一起体验灵感迸发的快感就OK了）。牛顿管这种方法叫“流数术”，现在大家都管它叫“微分法”。

　　但是，这种算法还是有些麻烦，怎么办呢？后面的文字有些难捱，不过好在看了也不会怀孕，不看也不会爆胎，实在是更多选择、更多欢笑。继续好吗？好的。

柳之心

　从此，不论是炮弹，还是蚊子，所有运动物体的瞬间行进方向，都在我们的掌握之中。这就是我们梦寐以求的那个方法，够普遍、够简洁、够精确。但牛顿同学没有满足，他主动加压，奋力拼搏，为构建和谐社会作出了新的更大贡献。

　　牛顿发现，计算曲边形状面积的方法很麻烦，不够和谐。古希腊时代，人们计算曲线围成的土地面积，是像拼图那样，用三角形啊、长方形啊这些简单的直边图形把它大致填满，这些简单直边图形的面积相加，就是那片土地面积的近似值，具体有多近似，那要看拼图的精细度。欧几里得和阿基米德都曾用过这种方法。这种算法不仅麻烦，而且作为数学来讲，它不够严格。

　　

　　17世纪，伽利略的弟子卡瓦列利提出一个思想：线由无数个点构成，面由无数条线构成，立体是无数个平面构成。

　　那么，点、线、面分别就是线、面、体的“不可分量”。

　　卡瓦列利通过比较两个平面（或者立方体）的不可分量之间的关系，来获得两者面积（或体积）之间的关系。有点绕了是吧？没关系，我们还可以举例、画图：

　　在一个平面上，我们放一个四面体（四个三角形围的那个），在他旁边，放个体型圆润点的圆锥体。圆锥体的体型虽好，但算起体积来，远不如四面体好算。

　　这时，让平面穿透他俩向上移动，在平面上，我们就会不断得到他俩的截面：一个是变化的三角形，一个是变化的圆形。如果从始至终，在每个时间点，我们得到的这俩截面的面积都相等，那么，这个四面体和圆锥体的体积也相等。我们只要算出四面体的体积，就得到了圆锥体的体积。

　　上面说的，是对立体，我们比较它们的不可分量：平面。

　　同理，对平面，我们可以比较它们的不可分量：线。

这就是著名的卡瓦列利原理。

　　　　其实，这个原理在我国叫“祖暅原理”，由魏晋时数学家刘徽提出“牟合方盖”概念，二百年后，南北朝时代大数学家祖冲之的儿子祖暅发展而成。可惜遭遇和墨子一样，既没引起重视，也没得到发展，自然就没产生什么值得一提的影响。有兴趣的同好们可以查一下相关资料。

柳之心

　卡瓦列利原理提出后，伽利略的另一名弟子把它用坐标系来表示，这一方法很快得到了发展应用。

　　这种算法，比拼图先进了些，但是，还是那句话：作为数学，这些方法依然欠严密，并且太繁琐。

　　前面说过，对曲线表达式进行微分，可以得到导数。表达式其实就是一个函数。1665年，聪明勤奋的牛顿同学在研究前辈们的复杂方法时，突然发现，不同图形的面积，可以用不同的导数形式来表示，这样，就可以把它“还原”成表达式，算出这个函数，面积也就出来了。这是微分的逆运算，叫积分。算面积不是问题，算体积也不是问题。

　　微积分就这样在不经意间，伴随着一个思想火花轻微劈啪声，悄悄诞生了。

伟大的灵感！

　有了微积分，复杂运动、复杂面积的计算，都任人摆布了。更牛的是，如果我们掌握了运动物体当前某个状态的值，就能用微积分算出它将来的运动状态！这简直就是科学江湖中的倚天剑！

　　牛顿是真牛啊！

柳之心

　　不知出于什么原因，牛顿在1665年创立微积分，却直到1707年，才把它发表在他的《光学》的附录里。

　　1675年，莱布尼兹（德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，举世罕见的科学天才，“世界上没有两片完全相同的树叶”出自他口）独立产生了微积分的思想，并于1684年发表了微积分论文。

　　牛顿形成微积分思想比莱布尼兹早，公之于众的时间却比莱布尼兹晚。于是，两位大师之间爆发了发明权争夺大战。

　　如果牛顿在1665年就把微积分亮出来，这场战争就不存在了。不过，如果这样，胡克等强人就掌握了微积分，那么，万有引力公式是谁的，就不好说了。

　　可是，历史没有假设。比起戏剧，历史更具戏剧性。

柳之心

　此后，数学家们对微积分进行了多方面的改进。19世纪，数学家们把“极限”概念引入微积分，并使之成为现代微积分的基石。现在的微积分动力更强劲，操控性更好，易于上手，实在是居家旅行、科研教育、炒房炒股、经天纬地的必备良药！

　　

1679年，胡克写信问牛顿，能否根据向心力定律、引力同距离的平方成反比的定律，来证明行星沿椭圆轨道运动。牛顿对此保持沉默。

　简洁明了。简洁的东西、简洁的方法、处事简洁的人。我喜欢。

　　从此，我们只要知道两个物体的质量和距离，就能算出它们之间的引力有多大。

　　当时已经有了地球半径、日地距离等精确的数据可以供计算使用。牛顿向哈雷证明，地球的引力是使月亮围绕地球运动的向心力，也证明了在太阳引力作用下，行星运动符合开普勒运动三定律。

　　1686年，是一个伟大的年度。在哈雷的敦促下，牛顿写成划时代的伟大著作《自然哲学的数学原理》（以后简称《原理》）。