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本帖最后由 周现强 于 2020-3-15 11:22 编辑
时空的无限和自限性偶联承制
数学理论中最强大、最基本的工具就是集合论，集合论虽然是非常象征的理论，但集合论仍具有很大的直觉性，所以理解集合论的一般概念并不太困难，本论一开始就直接将几何点作为集合的元素，这样本论的展开也就不太抽象。当然，在形式集合论中，点被抽象为任何对象而纯粹形式化，这对于一个非业人士是难以撑握的，但本论并不以纯粹的形式演绎为目的，而是直观时空概念基础上的维系方法，这对于具有中国传统学术思想的学人来说，理解这一点也并不太困难，并且正是由于中国思想的直觉理性，才能揭示形式化道路上难以逾越的难解之迷。
一〉、思想实验与维系化演绎
经典几何学以几何图形的纯粹性，而使包括柏拉图在内的所有哲学家们折腰，但人们仍有一点不满意，比如定义两个三角形全等就使用重合法，这就需要一种移动图形的物理操作和时空同向性的假定，现代数学思想就是把数学对象之间的关系，看成一种变换或映射【Mapping】的方法，比如，函数就被理解为自变量的概率阈值与因变量的概率阈值的一种互换，我们同样可以用集合之间的映射代替物理操作，这样可以摆脱物理实境的困难，实现维系演绎。
直觉方法几乎是一切科学基本理论的前提，公理方法就是将最少的直觉定义作为公理，然后以不涉及具体性的理论方式予以展开。作为数学方法，集合论要用形式符号来表达，所谓形式符号就是只表达符号关系，形式符号的演绎或演算就成为维系系统。使用符号方法可以避免普通语言描述的歧义性，保证维系系统的严格一致性。以下所论涉及的符号只是本论中必要的部份。
二〉、公理本然和理论展开
本论的研究集中于点与时空的直觉观念与形式方法的关系上，这种关系还没有一种前提性的理论，所以提出一个公理：维系演绎的一致性等同于直觉的重合。这个命题是一种基于经验的直觉，无法证明也无法推翻，因此是一个公理，下称本然公理。
本然实际上是这条公理的展开，在本论中，集合论的属于关系与时空太极理论的位置概念，具有上述等价关系，本然依靠集合论与时空太极理论的一致性，论证几何学的点与时空的太极内禀同一性，时空和点都以时空太极位置为内涵，时空太极“位置”与集合，“属于”这二者最终等价于哲学意义上的内禀性，而内禀性是由太极理念阐释的，从而使太极理念自身得到现代学理上的展开，故名时空太极学。
本文中“一致性”即“无矛盾”，“纯粹”与“抽象”意义相同使用。
时空太极“维度”一词的特殊意义就是哲学术语“网络层次”一词的几何解释。
时空太极“维度”的“同一性”、“内禀性”的意义是由本论解释的。
一种理论是作为理论方法或成为理论的内容，往往具有同一性，本论是利用了这种方便而不在论述中作特别说明。
集合论是数学的基础理论，几乎每一本数学论著都可以从集合论开始，有关论著非常多而庞杂，这里不准备重述集合论基础理论，不涉及集合论中的自然数理论，而只是主要关注集合论与时空太极“维度”与网络“层次”理论基础，故名为几何太极学概论或“道物辨证辨病法”。这是对于以后论题在基础上的说明。
（一）、基础点集理论
1、集合论基础
1.1、直觉地说，集合就是一些【有限】对象的集合；这是集合论的拓朴学观点。
1.2、集合的意义并不在于组成这些事物本身，而在于事物之间的关系，在集合论中则成为集合与集合中的元素的关系，在公理集合论中，集合和元素只有从属关系，纯粹的集合论的意义就是表达这种从属关系。
按常识理解，从属是一种内部关系，在集合论中，从属关系并不单纯归结为集合或元素的性质，而是表达为集合的自身相应性功构，本论将集合论的自身内在性功构发展为内禀性理论，从而实现点与时空太极“维度”与网络“层次”的同一，这是本论将中国哲学思想引入集合论和几何学的立论基础。
1.3、由此，本论在纯粹关系的意义上给出集合的定义：任何对象如果具有从属关系的结合，就是集合。
从这个定义中，从属关系是由直觉理解提供的，但是集合论的展开精确地表现这种关系，这正是形式公理方法的特征。
从这个定义中，集合与集合的元素是没有区分，即一个集合是一个元素或是多个元素相应的集合，这正是集合论自身的元学性质，也是集合论成 为数学最基本理论的原因，当然这也使它隐含了自身难以逾越的困难。
这个定义是最简单的，但并不是完备的，按拓朴学集合论的观点，一个元素属于或不属于一个集合是正常的，但是根据上述定义，集合自身也可以具有从属关系，即自身从属自己的集合是一个集合，或者说，自身为自己的元素的从属关系，是可以递归或自由离散的意义，即“集合”与“离散”是偶联协同的一致性，这里只议太极时空的集合，至于“离散”在物理学中的微观分析上的“实体粒子”与“虚体夸克”是非常的明晰，在此不加以敖述。但是这个定义排除了不包括自身的集合，不包括自身的集合是正常的，但是不能定义不从属自身的集合的集合，著名的罗素悖论就是：所有不以自己为元素的集合自成为一个集合，这个命题是因为定义了集合对自身的否定而成为悖论。在现实世界中，任何一件工具不能制造自身，形式方法的抽象性却能使数学理论成为构造自己的工具，这正是纯粹的理论方法能自成的秘密，但也带来了不能逾越的困难，在哲学史上成为了被称之为休谟问题的认识论困难，正是这种情况在哲学中的反映，歌德尔定律正是因为完全展示了纯粹性与完备性之间的绝对对立，而成为数学的一个异化里程。
集合论与集合悖论是无可奈何的，如果要维持集合论的形式性一致，而又避免悖论，只有一个办法，就是区分集合的层次秩序，一个集合与自己的集合中的元素不是同一级别【类型】的，就是说以自己为元素的集合；与不以自己为元素的集合；必须分别处理，但是这样一来，所有集合论的展开就变得非常复杂，与形式法道路所追求的简单性和普遍性背道而驰，与传统形式逻辑不同的一些所谓现代泛逻辑基本上也是探索这样的道路，而这些也正说明了纯粹的形式方法对层次问题无能为力。当然，我们由此也可以理解，纯粹的形式方法，正是对现实世界层次的抽象，而得到不是全体的“普遍性”。通常，集合论只能直接排除导致悖论的特殊情况，对于这种不完备性，本论理解为形式方法的一种本元性，这也正是本论引入中国时空太极“维度”与网络“层次”的同一思想的原因【不是悖论】。
本论基于拓朴学集合论，约定元素为直觉意义的点，时空是点的集合【化合场所或中介】，这意味着时空总是有内容物的，是“虚实互补”的络合体。这种拓朴性与现代物理学理论具有一致性【不是真空】，这也是本论内禀性的直觉性与维系性统一的现实性；
事物的集合也是在时空场的过程之中，因此元素点与时空场的过程之中，在集合论的定义上具有一致性。
集合论中的定义、性质与运算是互相解释的，定义可以由运算表达，一个运算也构成了一个定义或性质，这大体上由理论的展开情况而确定，下面的论述只是本论展开所必要的，并有一些形式上的简化或省略，并且，在不涉及复杂性的情况下，简化了符号式的表达。
（二）、基本定义及性质：
（1）符号a、b、c、d、……代表元素点。
（2）符号S、X、……代表元素点的集合。
（3）S由元素构成记为S{a,b,c,d,……}；
也可以描述性表达：集合S的点为a,b,c,d,……，或点a,b,c,d,……是Ｓ的元素；
（4）a是S的一个点，或S含有a，表达为：a∈S，符号式表达为：S{a: a∈S}。
（5）集合的元素点与时空划分层次定界，按层次定界之內是自限【有限】的，层次之间的连续交易为无限。
（6）X为S的子集，当X的所有元素也是S的元素，即集合X｛a,a’,a’’,a’’’,……｝属于S，当S｛b,b’,b’’,b’’’……， a,a’,a’’,a’’’,……｝；称X为S的子集，记为X∈S。
（7）若X∈S， 则X’=S—X，X’称为X的补集。
（8）若则X{ x1,x2,x3……}为S1、S2的所有元素的集合，称X为S！、S2的并集：X=S1∪S2。
（9）若元素X{ x1,x2,x3……}同属于S1和S2，称X为S1、S2的交集：X=S1∩S2。
（10）有限集的相等：Ｓ１＝Ｓ２，当S１{a,b,c,d,……,z}且S２{a,b,c,d,……,z}。
（11）无限集合的势（基）：若无限集合S1、S2这两集合之间的元素一一相应，则称两集合同势（基）。
这里应指出，这种一一相应是存在的，比如自然数与所有的正奇数或正偶数同势，“势”在这里的意义就是一种更加抽象的“度数”，我们可以定义全体自然数成为一个集合N={1,2,3,4,……}，虽然自然数的个数是不能知道的，但自然数集合的度势是确定的，存在比自度势是不可列的。
（三）、距离与时空
欧氏时空是以毕达哥拉斯定理【勾股弦定理】为标识的，在现代时空理论中，欧氏几何的直角刚性，由拓扑学的橡胶性所取代，几何距离的“度量”严格性，由位置相应性所取代，几何学进入到拓扑学，图形几何转化为元素点集几何，经典分析变成为现代分析，时空与元素点的联系同一性关系明显化了。抽象时空是现代数学思想最重要的基础理论之一，是几何学与算法理论高度交流的结果，本论中的时空是基于直觉几何的，但依靠抽象时空的理论背景，本论虽然有直接目的，但本论实际表明了时空的纯粹性与集合论的一致，本论泛称几何时空太极学，正是基于这种一致性。
1、从直觉出发，时空具有内容性的从属、相应、自洽、连续、偶联、协同、互补、自限【有限】与无限承制的基本特征，这几【度数】者是所有时空理论的出发基点，内容性暗示时空具有从属的形式本然性，连续是时空拓扑化的前提，自限与无限是时空存在性的哲学问题，前几【度数】者与时空可以归纳为一个物理概念—距离，距离意味着一种连续、自洽性的间隔，即是两个目标元素点之间的间距，间隔之间的“两端”是有“起点”与“终点”的之间间距之外，还有间距之间的“两端”的间隔标誌，如同阴阳、有无、寒热、虚实、水火、善恶、刚柔、祸福、贫富、正负、宏微、盈亏、升降、往来、屈伸、出入、消长、主客、上下、左右、前后、內外、彼此等所存在“两端”间距的标誌性的分辨间隔，所处自然社会生态的“中态公约度”相偶的语言作用和内涵机制，才能完整理解它们是间隔所存在“两端”的“中态公约度”间距，在其“两端”的间距之内，为自我自主性的“自由度”；在其“两端”的间距“间隔之界”，为自我自动性的“自限”；间隔与间隔的层次网络连续，为多维系列延伸交易的“无限”。即“两端”标量规范之內为交易【相互作用】活动的自主性的“自由度”；逾越“两端”标量规范之外的、为交易活动自动避劣性的“升降出入与吐故纳新”的“择优度”， 这些都是自然生态內外环境中，展开功信和物质交流互换的根本原则。如果间距“两端”的功信和物质“度量”，在多维“自由度”相等性的“平衡”了，则会造成环境內外的功信和物质无法开展交流互换，间距之内表现为相互作用机制停息性的“饥饿”与废物的堆积性的“自身中毒”征。如果是物理不同质，就需分别“度量”，如陆路和航路；只有在几何的意义上，才是纯粹的时空距离。在中文，时空一词的字面意义，就是把存在于时空之内的事物抽取而出，成为“虚空”的间距，即距离，预留出时空场境，便于事物在其内外环境中、开展“升降出入”的交易与转运，如同人们建造的房子所预留出的门户和空间，便于人们的出入和居住场境，这是俗言的“万物以气生成，而气无孔不入”，“孔”为时空太极与“空穴理论”，地球在宇宙这个空穴中如同一粒粉尘之气；人体在地球上这个场境中类似一颗气之粉尘；细菌在人体上也如是，这些不同大小层次的场境是有不同规格的“度量”，有多少的“度量”才能容纳相应的事物在其中活动，这同黄老之学“空能容物、物在空动”源于一理。因此定义了距离的“度量”，也就定义了时空“度量”的活动场景，于是这个时空的“度量”【守度】活动场景的差异间距、为事物的升降出入交易转运场所，为“守度的非平衡”或不平衡，同“耗散结构”理论的“远离平衡态”相配匹，但“耗散结构”理论缺失了太极时空距离层次环境的“度量”与“功构”方法，也是“耗散结构”理论缺少“守度”与“功构”原理的惋惜之事。所以，距离的精确定义就是“度量”方法，现在我们抽象物理操作，以形式方法定义时空距离的一般性概念。
2、定义
令S为点的集合，点x、y∈S，并令ρ为一实函数，当且仅当；
（1）ρ（x，y）≥０；当且仅当x＝y时，ρ（x，y）＝０【距离为0，两点重合】；
（2）ρ（x，y）＝ρ（y，x），【时空对称性或各向同性】；
（3）ρ（x，y）+ρ（y，z）≥ρ（x，z）【两点间的距离不大于它们分别到第三点距离之和，又称三角不等式】，则：ρ为Ｓ的一个度量，ρ的值就是x、y之间的时空距离。
当我们定义了元素点之间的距离，也就定义了一个距离时空。这样，一个距离时空就是一个集合Ｓ连同其中的一个度量ρ，记作S（x，ρ）。
这里特别指出，度量ρ为一实函数这一条件，是由实数无限性所保证的距离时空的连续性，这种时空连续性，是时空的內向自限和外向无限直觉观念的基础，由这牵涉到集合数论问题，也不是本论发展时空内禀性理论的重点，本文不予深入。
欧氏距离时空
距离时空是对欧氏空间的进一步抽象，即放弃了欧氏时空中的坐标相互垂直的唯一性，这样距离时空就具有了一种拓扑性质。欧氏空间只是距离时空的一个特例。因此，如果Ｓ为距离时空的一个子集，其中毕达哥拉斯定理成立：ρ(x，y)=((x1-x2)^2+( y-y2)^2)^1/2【式中^为txt文本表达方法，即幂次】，其中（x1，y1）、（x2，y2）为点x、y在XY平面上的坐标，则ρ(x，y)就是通常的欧氏空间距离。
距离时空由度量定义，因此也称度量时空【Metric Space】，下面，距离时空还将进一步抽象，走向更纯粹的抽象时空。我们现在讨论的点集时空仍是以欧氏空间直觉为基础的，即使不依靠我们的元素点的直觉，我们仍然可以定义纯粹形式的抽象时空，并且具有更普遍性的意义。比如，我们以函数作为集合的元素，把函数看成为抽象时空中的元素点【或者把点看成为函数】，我们就可以得到现代数的一大分枝：泛函理论。
到此时为止，我们还没有对元素点的确切定义，但是通过集合论的方法，我们定义了时空。由此我们可以看出，集合论的方法虽然抽象，但与我们人类的认识和知识的起源道路是相同的，这正是为什么曾经有一些数学家努力地想以一种“新数学”的方法【“孩子们的集合论”】改变初级数学教育方法的原因。
（四）、位置与时空
层次位置是时空的一个特殊概念，纯粹的层次位置就是时空自身，层次位置关系就是时空自身的功构性关系，这种几何纯粹性是由几何学中的一个基本理论的偶联原理【principle of duality】表达的。在纯粹的几何学中，元素点的位置只有两种：重合或不重合，在分析理论中，点与点可以无限接近，即不重合也不不重合，不重合的是一种外向性关系，通常的几何学主要是在这个形式上展开的，而层次位置的重合的几何学意义则是由邻域理论展开的，距离空间将度量的意义时空定义化了，但度量仍是一种操作，我们可以进一步将度量形式化为时空的自身性质，这就是层次位置空间的意义。
1、点的邻域
距离空间S(x,ρ)，即存在集合S和其中的一个度量ρ，其中有点x，并另有点y，如果度量ρ(x, y)总小于一个任意指定小的正数ε，则称子集X（x, y）,为点x的邻域X（x, ρ）。
这个陈述表达为符号式就是： X(x , y,ρ,ε)={x:x∈X;ρ(x,y)≤ε}；X∈S，ε>0。
邻域公理：
（1）x的邻域X包含x；
（2）邻域中的每一点至少有一个邻域；
（3）x的邻域S中的一点y，y必有邻域Y，Y∈S；
（4）x的邻域X和x的邻域Y的交集和并集都是x的邻域。
2、开集与闭集
对于o点的邻域集中的所有元素点，有度量ρ(o,x)<ε，即S{o,ρ}={x: x∈S, ρ(o,x)<ε}，则成为一个开集。通常考虑为三维空间的情形下，这时开集也称开球。
存在集合S0={x:，ρ(o,x)=ε}，称为邻域界面（球面）。
开集与界面构成闭集。
一个空间中的开集与闭集互补。
3、拓扑空间
上述邻域是欧氏几何意义上定义的，由于ε是一个具体的数值，所以一个点的邻域是一个以这个目标点为中心，ε为半径的规则球域；如果的ε的值有定义，但不是唯一具体的值，则一个点的领域可以是不规则的，我们可以将这样的邻域理解为包含我们的目标点的一个可以任意变形的橡胶球，这样的邻域就是拓扑学意义上的邻域。
这样我们就完全抽象了距离的概念，ε没有度量值的具体性意义，ρ所定义的只是一种纯粹的相应位置—点和它的邻域的相互空间关系，由此，距离空间成为了纯粹的位置时空，即拓扑时空。
拓扑时空概念是由元素点的邻域引伸的，即由纯粹位置关系而定义的空间概念，因此空间与元素点在位置的意义上是同一的。
欧氏空间只是拓扑时空的特例。不依靠直觉，抽象空间也可以用集合的运算进行定义。以下均为拓扑时空。
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发表于 2020-3-13 13:50:47
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